Elementar-Mathematik

Arithmetik und Algebra.- 1. Mengenalgebra.- 1.1 Der Mengenbegriff, Elemente einer Menge.- 1.1.1 Darstellung von Mengen.- 1.2 Teilmengen.- 1.3 Mengenverknüpfungen.- 2. Die vier Grundrechenarten.- 2.1 Addition und Subtraktion.- 2.2 Negative Zahlen.- 2.3 Multiplikation.- 2.4 Division.- 2.4.1 Division einer Summe durch einen eingliedrigen Ausdruck.- 2.4.2 Division zweier Summen.- 2.5 Faktorenzerlegung.- 3. Bruchrechnung.- 3.1 Allgemeines.- 3.2 Addition und Subtraktion von Brüchen.- 3.2.1 Bildung eines Hauptnenners bei natürlichen Zahlen.- 3.2.2 Hauptnenner bei Variablen.- 3.3 Multiplikation und Division von Brüchen.- 3.4 Aufgaben.- 4. Gleichungen 1. Grades mit einer Unbekannten.- 4.1 Allgemeines.- 4.2 Beispiele.- 5. Systeme linearer Gleichungen.- 5.1 Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten.- 5.1.1 Die Additionsmethode.- 5.1.2 Die Einsetzungs- oder Substitutionsmethode.- 5.2 Allgemeine Lösung von zwei linearen Gleichungen.- 5.2.1 Allgemeiner Fall.- 5.2.2 Sonderfälle der Lösung.- 5.2.3 Einige Determinantengesetze.- 5.3 Drei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten.- 5.4 Dreireihige Determinanten.- 5.4.1 Sonderfälle der Lösung.- 5.4.2 Rechengesetze für die dreireihige Determinante.- 6. Die lineare Funktion.- 6.1 Der Begriff der Funktion.- 6.2 Graphische Darstellung der Funktion y = mx.- 6.3 Die Funktion y = mx + n.- 6.4 Graphische Lösung einer linearen Gleichung.- 6.5 Graphische Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten.- 7. Potenzrechnung und Potenzfunktion.- 7.1 Potenzen mit ganzen positiven Exponenten.- 7.2 Erste Erweiterung des Potenzbegriffes.- 7.3 Die Potenzfunktion y = xn.- 7.3.1 n sei eine positive ganze Zahl.- 7.3.2 n sei eine negative ganze Zahl.- 8. Wurzelrechnung.- 8.1 Das Radizieren.- 8.1.1 Allgemeines.- 8.1.2 Die Quadratwurzel.- 8.1.3 Die Kubikwurzel.- 8.2 Rationale und irrationale Zahlen.- 8.3 Rechengesetze.- 8.3.1 Addition und Subtraktion.- 8.3.2 Multiplikation.- 8.3.3 Division.- 8.3.4 Potenzieren.- 8.3.5 Mehrfache Wurzeln.- 8.4 Rationalmachen des Nenners.- 8.5 Zweite Erweiterung des Potenzbegriffes. Gebrochene Exponenten.- 8.6 Die Umkehrfunktion.- 8.6.1 Spiegelung an der Geraden y = x.- 8.6.2 Umkehrung der Funktion y = mx + n.- 8.6.3 Die Umkehrfunktion zur Normalparabel y = x2.- 8.6.4 Die Umkehrfunktion zur kubischen Funktion y = x3.- 8.7 Die Exponentialfunktion.- 8.7.1 Die graphische Darstellung.- 8.7.2 Die Funktion y = ex.- 9. Die quadratische Gleichung.- 9.1 Sonderfälle und vierte Erweiterung des Zahlenbereiches.- 9.2 Der allgemeine Fall Ax2 + Bx + C = 0.- 9.2.1 Die quadratische Ergänzung.- 9.2.2 Lösung der quadratischen Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.- 9.3 Beziehungen zwischen Koeffizienten und Lösungen der quadratischen Gleichung.- 9.4 Aufgaben.- 9.5 Näherung für die Lösungen einer quadratischen Gleichung bei sehr verschiedenen Beträgen beider Lösungen.- 9.6 Wurzelgleichungen.- 9.7 Die quadratische Funktion.- 9.8 Graphische Lösung der quadratischen Gleichung.- 10. Ungleichungen.- 11. Der Logarithmus.- 11.1 Der Begriff des Logarithmus.- 11.2 Die logarithmische Funktion.- 11.3 Logarithmengesetze.- 11.4 Zusammenhang zwischen den Logarithmensystemen.- 11.5 Der Zehner-Logarithmus.- 11.5.1 Allgemeines.- 11.5.2 Einrichtung und Gebrauch der Logarithmentafel.- 11.6 Lineare Interpolation.- 11.7 Beispiele.- 11.7.1 Multiplikation.- 11.7.2 Division.- 11.7.3 Potenzierung.- 11.7.4 Wurzelziehen.- 12. Folgen und Reihen.- 12.1 Die arithmetische und die geometrische Reihe.- 12.1.1 Allgemeines.- 12.1.2 Die endliche (abbrechende) arithmetische Reihe.- 12.1.3 Die endliche (abbrechende) geometrische Reihe.- 12.1.4 Die (unendliche) geometrische Reihe.- 12.2 Das Summenzeichen.- 12.3 Die (unendliche) Folge.- 12.4 Die (unendliche) Reihe.- 13. Der binomische Satz.- 13.1 Die Binomialkoeffizienten.- 13.2 Beweis des binomischen Satzes durch vollständige Induktion.- 13.3 Die Ungleichung von Bernoulli.- 13.4 Symmetriesatz der Binomialzahlen.- Goniometrie und Trigonometrie.- 14. Goniometrie.- 14.1 Gradmaß und Bogenmaß.- 14.1.1 Umwandlung von Grad- in Bogenmaß.- 14.1.2 Umwandlung von Bogen- in Gradmaß.- 14.2 Die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck.- 14.3 Verallgemeinerung des Winkelfunktionsbegriffes.- 14.4 Verlauf der trigonometrischen Funktionen.- 14.4.1 Die Sinusfunktion.- 14.4.2 Die Cosinusfunktion.- 14.4.3 Die Tangensfunktion.- 14.4.4 Die Cotangensfunktion.- 14.4.5 Die Periodizität der Funktionen.- 14.5 Beziehungen zwischen den Funktionen desselben Winkels.- 14.6 Be der Funktionstafeln.- 14.7 Werterte der er Funktionetione von beliebigen von beliebigen Winkeln.- 14.8 Die Additionstheoreme.- 14.9 Folgerungen aus den Additionstheoremen.- 14.10 Summe und Differenz der sin- und cos-Werte zweier Winkel.- 14.11 Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.- 15. Goniometrische Bestimmungsgleichungen.- 15.1 Gleichungen mit einer Unbekannten.- 15.2 Goniometrische Gleichungen mit zwei Unbekannten.- 16. Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks.- 16.1 Der Sinussatz.- 16.1.1 Der Umkreisradius.- 16.1.2 Der Flächeninhalt des Dreiecks.- 16.2 Anwendung des Sinussatzes auf die Dreiecksberechnung.- 16.3 Der Cosinussatz.- 16.4 Anwendung des Cosinussatzes auf die Dreiecksberechnung.- 16.5 Weitere Dreiecksformeln.- 16.6 Aufgaben.- 17. Komplexe Zahlen.- 17.1 Imaginäre Zahlen.- 17.2 Komplexe Zahlen.- 17.2.1 Begriff der komplexen Zahl.- 17.2.2 Das Rechnen mit komplexen Zahlen.- 17.3 Gaußsche Zahlenebene.- 17.3.1 Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen im rechtwinkligen Koordinatensystem.- 17.3.2 Darstellung der komplexen Zahlen in ebenen Polarkoordinaten.- 17.4 Die vier Grundrechenarten in der Gaußschen Zahlenebene.- 17.4.1 Addition.- 17.4.2 Subtraktion.- 17.4.3 Multiplikation.- 17.4.4 Division.- 17.5 Das Rechnen mit den Beträgen komplexer Zahlen.- 17.5.1 Addition.- 17.5.2 Multiplikation und Division.- 17.6 Der Satz von Moivre.- 17.6.1 Die Verallgemeinerung der Multiplikationsformel.- 17.6.2 Die Potenzen von cos ? + i sin ?.- 17.6.3 Anwendung des Satzes von Moivre.- 17.7 Das Radizieren einer komplexen Zahl.- 17.8 Das Radizieren als Lösung der binomischen Gleichung.- Analytische Geometrie der Ebene.- 18. Die Strecke.- 18.1 Länge und Richtung einer Strecke.- 18.2 Innere und äußere Teilung einer Strecke.- 18.3 Dreiecks- und Vielecksinhalt.- 18.3.1 Der Dreiecksinhalt.- 18.3.2 Der Vielecksinhalt.- 19. Die Gerade.- 19.1 Verschiedene Formen der Geradengleichung.- 19.1.1 Die Normalform.- 19.1.2 Die Abschnittsgleichung.- 19.1.3 Allgemeine Geradengleichung.- 19.2 Punktrichtungs- und Zweipunktegleichung.- 19.3 Die Hessesche Normalform.- 19.3.1 Umwandlung der allgemeinen Form in die Hessesche Normalform.- 19.3.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden.- 19.4 Die Gleichungen der Winkelhalbierenden.- 19.5 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden.- 19.5.1 Schnittpunkt zweier Geraden.- 19.5.2 Schnittpunkt dreier Geraden.- 19.5.3 Winkel zwischen zwei Geraden.- 19.6 Koordinatentransformation.- 19.6.1 Die Parallelverschiebung.- 19.6.2 Drehung um den Winkel ?.- 20. Der Kreis.- 20.1 Die Kreisgleichung.- 20.1.1 Die Schnittpunkte zweier Kreise.- 20.2 Die Gleichung der Kreistangente.- 21. Die Kegelschnitte.- 21.1 Erste Definition der Kegelschnitte.- 21.1.1 Ellipse.- 21.1.2 Parabel.- 21.1.3 Hyperbel.- 21.2 Zweite Definition der Kegelschnitte.- 21.3 Die Scheitelgleichung der Kegelschnitte.- 21.4 Die Parabel.- 21.5 Die Ellipse.- 21.5.1 Die Scheitelgleichung.- 21.5.2 Die Mittelpunktsgleichung.- 21.6 Die Hyperbel.- 21.6.1 Die Scheitelgleichung.- 21.6.2 Die Mittelpunktsgleichung.- 21.7 Zusammenstellung der wichtigsten Beziehungen für die drei Kegelschnitte.- 21.8 Die Asymptoten der Hyperbel.- 21.8.1 Gleichung der Asymptoten.- 21.8.2 Asymptotensätze.- 21.9 Geometrische Eigenschaften der Mittelpunktskegelschnitte.- 21.10 Geometrische Eigenschaften der Parabel.- 21.11 Transformation der Kegelschnittsgleichungen durch Parallelverschiebung und Drehung des Koordinatensystems.- 21.11.1 Parallelverschiebung.- 21.11.2 Drehung des Koordinatensystems.- 21.12 Das Hauptachsenproblem.- 21.12.1 Zusammenfassung.- 21.12.2 Beispiele.- 21.13 Polarkoordinaten.- 21.13.1 Zusammenhang zwischen rechtwinkligen und Polarkoordinaten.- 21.14 Die Polargleichung der Geraden.- 21.15 Die Polargleichung der Kegelschnitte.- 22. Aufstellen von Kurvengleichungen.- 22.1 Die Parameterdarstellung.- 22.1.1 Die Parabel.- 22.1.2 Die Ellipse.- 22.1.3 Die Gerade.- 22.1.4 Rollkurven.- 22.2 Geometrische Örter.- 22.2.1 Darstellung ohne Hilfsgrößen.- 22.2.2 Einführung von Hilfsgrößen.- Vektoralgebra.- 23. Das räumliche kartesische Koordinatensystem.- 23.1 Rechts- und Linkssystem.- 23.2 Der räumliche Pythagoras.- 23.3 Die Richtungscosinus.- 23.4 Abstand zweier Punkte.- 23.5 Aufgaben.- 24. Der Vektor.- 24.1 Der Begriff des Vektors.- 24.2 Rechenregeln.- 24.2.1 Addition von Vektoren.- 24.2.2 Subtraktion von Vektoren.- 24.2.3 Multiplikation mit einem Skalar.- 24.3 Spezielle Vektoren.- 24.3.1 Einheitsvektoren.- 24.3.2 Ortsvektoren.- 24.4 Vektoren in der Physik.- 24.5 Die Darstellung von Vektoren in Komponentenschreibweise.- 24.6 Beispiele.- 24.7 Aufgaben.- 25. Das skalare Produkt.- 25.1 Definition.- 25.2 Rechenregeln.- 25.3 Das skalare Produkt in Komponentendarstellung.- 25.4 Folgerungen.- 25.5 Anwendungsbeispiele.- 25.6 Aufgaben.- 26. Das Vektorprodukt.- 26.1 Definition.- 26.2 Rechenregeln.- 26.3 Komponentendarstellung.- 26.4 Beispiele.- 26.4.1 Das Moment einer Kraft.- 26.4.2 Lineargeschwindigkeit bei Rotation.- 26.5 Aufgaben.- 27. Mehrfache Vektorprodukte.- 27.1 Das Spatprodukt.- 27.2 Beispiele.- 27.2.1 Inhalt eines Tetraeders.- 27.2.2 Gleichung einer Ebene durch drei Punkte.- 27.2.3 Reziprokes System.- 27.3 Das dreifache Vektorprodukt.- 27.4 Produkte mit mehr als drei Faktoren.- 27.5 Aufgaben.- Lösungen.