Adaptive Wavelet-Analysis

1 Mathematische Vorbetrachtungen.- 1.1 Grundlagen aus der Analysis.- 1.1.1 Konvergenz von unendlichen Reihen und Produkten.- 1.1.2 Meßbarkeit.- 1.1.3 Integrierbarkeit.- 1.1.4 Metriken, Normen und Skalarprodukte.- 1.2 Funktionenräume.- 1.2.1 Stetige Funktionen auf der Kreislinie.- 1.2.2 Lebesgue-Räume.- 1.2.3 Räume von Testfunktionen.- 1.2.4 Dualräume.- 1.2.5 Frames, Basen und Orthogonalität.- 1.3 Fourier-Analysis.- 1.3.1 Fourier-Integrale.- 1.3.2 Fourier-Reihen.- 1.3.3 Allgemeine orthogonale Transformationen.- 1.3.4 Diskrete Fourier-Transformation.- 1.3.5 Heisenbergsche Ungleichung.- 1.3.6 Faltung.- 1.3.7 Dilatation, Dezimation und Translation.- 1.4 Approximation.- 1.4.1 Mittelung und Abtasten.- 1.4.2 Bandbeschränkte Funktionen.- 1.4.3 Approximation durch Polynome.- 1.4.4 Glatte Funktionen und verschwindende Momente.- 1.5 Übungsaufgaben.- 2 Programmiertechniken.- 2.1 Rechnen unter realen Bedingungen.- 2.1.1 Endlichkeit.- 2.1.2 Programmiersicherheit.- 2.1.3 Pseudocode.- 2.1.4 Übliche Programmierhilfen.- 2.2 Strukturen.- 2.2.1 Komplexe Arithmetik.- 2.2.2 Intervalle.- 2.2.3 Binärbäume.- 2.2.4 Hecken.- 2.2.5 Atome.- 2.3 Verknüpfungen.- 2.3.1 Hecken und Bäume.- 2.3.2 Atome und Bäume.- 2.3.3 Zerlegung einer Hecke in Atome.- 2.4 Übungsaufgaben.- 3 Diskrete Fourier-Transformation.- 3.1 Die Fourier-Transformation auf CN.- 3.1.1 Die „schnelle“ Fourier-Transformation.- 3.1.2 Implementierung der DFT.- 3.2 Die diskrete Hartley-Transformation.- 3.2.1 Die „schnelle“ Hartley-Transformation.- 3.2.2 Implementierung der DHT.- 3.3 Diskrete Sinus- und Cosinus-Transformationen.- 3.3.1 DCT-I und DST-I.- 3.3.2 DCT-II, DCT-III, DST-II und DST-III.- 3.3.3 DCT-IV und DST-IV.- 3.3.4 Implementierungen von DCT und DST.- 3.4 Übungsaufgaben.- 4 Lokale trigonometrische Transformationen.- 4.1 Hilfsmittel und Beispiele.- 4.1.1 Unitäres Falten und dessen Umkehrung.- 4.1.2 Glatte orthogonale Projektionen.- 4.1.3 Periodisierung.- 4.1.4 Einige analytische Eigenschaften.- 4.2 Orthogonalbasen.- 4.2.1 Kompatible Partitionen.- 4.2.2 Orthonormalbasen auf der reellen Achse.- 4.2.3 Diskrete Orthonormalbasen.- 4.3 Implementierung der Grundoperationen.- 4.3.1 Abschneidefunktionen.- 4.3.2 Faltung und inverse Faltung in Zwischenpunkten.- 4.3.3 Lokale trigonometrische Transformationen in Zwischenpunkten.- 4.3.4 Lokale Periodisierung bei Zwischenpunkten.- 4.4 Implementierung adaptiver Transformationen.- 4.4.1 Adaptive lokale Cosinus-Analyse.- 4.4.2 Auswahl der Koeffizienten.- 4.4.3 Adaptive lokale Cosinus-Synthese.- 4.5 Übungsaufgaben.- 5 Quadraturfilter.- 5.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften.- 5.1.1 Wirkungsweise auf Folgen.- 5.1.2 Biorthogonale QFs.- 5.1.3 Orthogonale QFs.- 5.1.4 Wirkungsweise auf Funktionen.- 5.2 Phasenantwort.- 5.2.1 Shifts für Folgen.- 5.2.2 Shifts im periodischen Fall.- 5.3 Frequenzantwort.- 5.3.1 Wirkungsweise einer einzelnen Filteranwendung.- 5.3.2 Wirkungsweise iterierter Filteranwendungen.- 5.4 Implementierung der Faltungs-Dezimation.- 5.4.1 Allgemeine Annahmen.- 5.4.2 Aperiodische Faltungs-Dezimation.- 5.4.3 Adjungierte aperiodische Faltungs-Dezimation.- 5.4.4 Periodische Faltungs-Dezimation.- 5.4.5 Adjungierte periodische Faltungs-Dezimation.- 5.4.6 Kunstgriffe.- 5.5 Übungsaufgaben.- 6 Diskrete Wavelet-Transformation.- 6.1 Einige Grundtatsachen über Wavelets.- 6.1.1 Ursprünge.- 6.1.2 Die DWT-Familie.- 6.1.3 Multiskalen-Analyse.- 6.1.4 Die Projektion von Funktionen.- 6.2 Implementierungen.- 6.2.1 Periodische DWT und iDWT.- 6.2.2 Aperiodische DWT und iDWT.- 6.2.3 Bemerkungen.- 6.3 Übungsaufgaben.- 7 Wavelet-Pakete.- 7.1 Definitionen und allgemeine Eigenschaften.- 7.1.1 Wavelet-Pakete auf R bei fester Skala.- 7.1.2 Multiskalen-Wavelet-Pakete auf R.- 7.1.3 Numerische Berechnung der Koeffizienten von Wavelet-Paketen.- 7.1.4 Die Familie der diskreten Wavelet-Paket-Analysen.- 7.1.5 Orthonormalbasen von Wavelet-Paketen.- 7.2 Implementierungen.- 7.2.1 Allgemeine Algorithmen.- 7.2.2 Periodische DWPA und DWPS.- 7.2.3 Aperiodische DWPA und DWPS.- 7.2.4 Biorthogonale DWPA und DWPS.- 7.3 Übungsaufgaben.- 8 Der Algorithmus der besten Basis.- 8.1 Definitionen.- 8.1.1 Informationskosten und beste Basis.- 8.1.2 Entropie, Information und theoretische Dimension.- 8.2 Bestimmung der besten Basis.- 8.2.1 Bibliotheksbäume.- 8.2.2 Schnelle Suchalgorithmen für minimale Informationskosten.- 8.2.3 Meta-Algorithmus für eine adaptive Wellenform-Analyse.- 8.3 Implementierung.- 8.3.1 Kostenfunktionen.- 8.3.2 Additive Kostenfunktionen.- 8.3.3 Auswahl einer Basisteilmenge.- 8.3.4 Auswahl eines Zweiges.- 8.4 Übungsaufgaben.- 9 Mehrdimensionale Bibliotheksbäume.- 9.1 Mehrdimensionale Zerlegungsoperatoren.- 9.1.1 Tensorprodukte von CQFs.- 9.1.2 Tensorprodukte von DTTs und LTTs.- 9.1.3 Komplexität des d-dimensionalen Algorithmus der besten Basis.- 9.1.4 Anisotropische Dilatationen in mehreren Dimensionen.- 9.2 Praktische Überlegungen.- 9.2.1 Bezeichnung der Basen.- 9.2.2 Platzsparende Speicherung.- 9.3 Implementierungen.- 9.3.1 Transposition.- 9.3.2 Separable Faltungs-Dezimation.- 9.3.3 Separable adjungierte Faltungs-Dezimation.- 9.3.4 Basen separabler Wavelet-Pakete.- 9.3.5 Separables Falten und inverses Falten.- 9.4 Übungsaufgaben.- 10 Zeit-Frequenz-Analyse.- 10.1 Die Zeit-Frequenz-Ebene.- 10.1.1 Wellenformen und Zeit-Frequenz-Atome.- 10.1.2 Die idealisierte Zeit-Frequenz-Ebene.- 10.1.3 Basen und Pflasterungen.- 10.1.4 Analyse und Kompression.- 10.1.5 Zeit-Frequenz-Analyse mit Bibliotheksbäumen.- 10.2 Zeit-Frequenz-Analyse einiger wichtiger Signale.- 10.2.1 Vorteile adaptiver Vorgehensweise.- 10.2.2 Vergleich von Wavelets und Wavelet-Paketen.- 10.2.3 Chirps.- 10.2.4 Sprachsignale.- 10.3 Implementierung.- 10.3.1 Einfache PostScript-Kommandos.- 10.3.2 Zeichnen der Signale.- 10.3.3 Zeichnen der Zeit-Frequenz-Ebene.- 10.3.4 Berechnen der Atome.- 10.4 Übungsaufgaben.- 11 Einige Anwendungen.- 11.1 Bildkompression.- 11.1.1 Digitalisierte Bilder.- 11.1.2 Bildkompression durch Transformationskodierung.- 11.2 Schnelle genäherte Faktoranalyse.- 11.2.1 Die genäherte KL-Transformation.- 11.2.2 Klassifikation von großen Datenmengen.- 11.2.3 Jacobi-Matrizen für komplizierte Abbildungen.- 11.3 Matrixmultiplikation in Nichtstandard-Form.- 11.3.1 Ausdünnen mit der zweidimensionalen besten Basis.- 11.3.2 Anwendung von Operatoren auf Vektoren.- 11.3.3 Verknüpfung von Operatoren.- 11.4 Segmentierung von Sprachsignalen.- 11.4.1 Adaptive lokale Spektralanalyse.- 11.4.2 Segmentierung in Vokale und andere Segmente.- 11.4.3 Experimentelle Ergebnisse.- 11.5 Sprachwirrwarr.- 11.5.1 Zu verschlüsselnde Objekte.- 11.5.2 Merkmalerhaltende Permutationen.- 11.6 Adaptive Rauschunterdrückung durch Wellenformen.- 11.6.1 Kohärenz und Rauschen.- 11.6.2 Experimentelle Ergebnisse.- A Lösungen für einige Übungsaufgaben.- B Symbolliste.- C Koeffizienten der Quadraturfilter.- C.1 Orthogonale Quadraturfilter.- C.1.1 Beylkin-Filter.- C.1.2 Coifman- oder „Coiflet“-Filter.- C.1.3 Standard-Daubechies-Filter.- C.1.4 Vaidyanathan-Filter.- C.2 Biorthogonale Quadraturfilter.- C.2.1 Symmetrisch/antisymmetrisch, ein Moment.- C.2.2 Symmetrisch/symmetrisch, zwei Momente.- C.2.3 Symmetrisch/antisymmetrisch, drei Momente.- Sachwortverzeichnis.