Formeln und Tabellen der mathematischen Statistik

A. Formeln.- 1 Formeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.- 2 Verteilungen mit sprunghaft veränderlichem Merkmal (diskrete Verteilungen).- 2.1 Allgemeine diskrete Verteilung.- 2.2 Hypergeometrische Verteilung.- 2.3 Binomialverteilung (Bernoulli-Verteilung).- 2.4 Poisson-Verteilung.- 2.5 Negative Binomialverteilung.- 3 Verteilungen mit stetig veränderlichem Merkmal (stetige Verteilungen).- 3.1 Allgemeine stetige Verteilung.- 3.2 Normalverteilung (Gauß-Verteilung).- 3.3 t-Verteilung (Student-Verteilung).- 3.4 x2-Verteilung (Helmert-Pearson-Verteilung).- 3.5 F-Verteilung (Fisher-Verteilung).- 3.6 Gamma-Verteilung.- 3.7 Beta-Verteilung.- 3.8 Exponentialverteilung (Weibull-Verteilung).- 3.9 Doppelte Exponentialverteilung.- 3.10 Ungleichungen von TSCHEBYSCHEFF und CAMP-MEIDELL.- 3.11 Übersicht über die wichtigsten eindimensionalen Verteilungen.- 4 Mehrdimensionale Verteilungen.- 4.1 Zweidimensionale diskrete Verteilungen.- 4.2 Zweidimensionale stetige Verteilungen.- 4.3 Beziehungen über Momente zweidimensionaler Verteilungen.- 4.4 p-dimensionale Verteilungen.- 4.5 Sonderfälle mehrdimensionaler Verteilungen.- a) Zweidimensionale Normalverteilung.- b) p-dimensionale Normalverteilung.- c) Polynomische Verteilung.- d) Verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung.- 5 Kenngrößen einer Verteilung, Zufallsschranken, Vertrauensgrenzen, Toleranzgrenzen.- 5.1 Stichprobe; abgeleitete statistische Kenngrößen.- a) Einzelwerte (ohne Klasseneinteilung).- b) Klasseneinteilung.- c) Mittelwert x.- d) Zentralwert (Median) x.- e) Varianz s2 und Standardabweichung s.- f) Spannweite.R.- g) Variationszahl (Variationskoeffizient) V.- h) Schiefe g1.- 5.2 Schluß von einer bekannten Gesamtheit auf die Stichprobe. Zufallsschranken, ZufaUsbereich.- a) Zufallsschranken bzw. -bereiche bei Normalverteilung.- Einzelwert.- Extremwerte.- Mittelwert.- Zentralwert (Median).- Varianz und Standardabweichung.- Spannweite.- Variationszahl (Variationskoeffizient).- Mittelwertsunterschied zweier unabhängiger Stichproben.- Varianzverhältnis zweier unabhängiger Stichproben.- b) ZufaUsschranken bzw. -bereiche bei Binomialverteilung.- c) Zufallsschranken bzw. -bereiche bei Poisson-Verteilung.- d) Zufallsschranken bzw. -bereiche bei beliebiger Verteilung.- 5.3 Schluß von der Stichprobe auf die Gesamtheit. Vertrauensgrenzen (Konfidenzgrenzen), Vertrauensbereich (Konfidenzbereich).- a) Allgemeine Vertrauensgrenzen, allgemeiner Vertrauensbereich.- b) Vertrauensgrenzen bzw. -bereiche bei Normalverteilung.- Mittelwert.- Varianz und Standardabweichung.- Variationszahl (Variationskoeffizient).- Schiefe.- c) Vertrauensgrenzen bzw. -bereiche bei Binomialverteilung.- d) Vertrauensgrenzen bzw. -bereiche bei Poisson-Verteilung.- e) Vertrauensgrenzen bei beliebiger stetiger Verteilung.- 5.4 Toleranzgrenzen und Toleranzbereich.- a) Toleranzgrenzen und -bereiche bei Normalverteilung.- b) Toleranzgrenzen und -bereiche bei beliebiger stetiger Verteilung.- 5.5 Ausreißerkriterien bei normaler Gesamtheit.- a) Ausreißerschranken für die Extremwerte einer Stichprobe.- b) Ausreißerschranken für die größte von k Varianzen.- 6 Testverfahren.- 6.1 Verträglichkeit eines Sollwertes mit einem aus einer Stichprobe berechneten Kenngrößenwert (Parametertest).- 6.2 Vergleich von Mittelwerten bei (angenähert) normalen Grundgesamtheiten.- a) Allgemeines Verfahren.- b) Vergleich der Mittelwerte bei zwei unabhängigen Stichproben.- c) Vergleich der Mittelwerte bei zwei abhängigen (verbundenen) Stichproben (paarweiser Vergleich).- d) Prüfen mehrerer Mittelwerte von Normalverteilungen (mit unbekannter aber gleicher Varianz) auf Gleichheit.- 6.3 Vergleich der Lage (Mittelwert, Zentralwert u. a.) von zwei beliebigen Grundgesamtheiten.- a) Unabhängige Stichproben.- b) Abhängige Stichproben (verbundene Stichproben).- 6.4 Vergleich von Varianzen oder Standardabweichungen bei (angenähert) normalen Grundgesamtheiten.- a) Allgemeines Verfahren.- b) Vergleich zweier Standardabweichungen (Varianzen).- c) Prüfen mehrerer Varianzen von Normalverteilungen auf Gleichheit.- 6.5 Vergleich der Varianzen bzw. Streuungen von zwei beliebigen stetigen Gesamtheiten.- 6.6 Vergleich der Grundwahrscheinlichkeiten von Binomialverteilungen.- a) Vergleich der Grundwahrscheinlichkeiten von zwei Binomialverteilungen.- b) Vergleich der Grundwahrscheinlichkeiten von k Binomialverteilungen.- 6.7 Vergleich der Parameter von Polynomialverteilungen.- 6.8 Vergleich der Mittelwerte von Poisson-Verteilungen.- a) Allgemeines Verfahren.- b) Vergleich der Mittelwerte von zwei Poisson-Verteilungen.- c) Vergleich der mittleren Ereigniszahlen je Bezugseinheit bei zwei Poisson-Verteilungen.- d) Vergleich der Mittelwerte von k Poisson-Verteilungen.- 6.9 Vergleich einer beobachteten mit einer vorgegebenen Verteilung (Anpassungs-Tests).- 6.10 Test der Hypothese, daß zwei Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit stammen.- a) Unabhängige Stichproben.- b) Abhängige Stichproben (verbundene Stichproben).- 7 Varianzanalyse (Streuungszerlegung).- 7.1 Einfache Zerlegung; gleiche Besetzungszahlen für alle Gruppen.- a) Das Modell mit systematischen Komponenten.- b) Das Modell mit Zufallskomponenten.- 7.2 Einfache Zerlegung mit ungleichen Besetzungszahlen der Spalten oder Gruppen.- a) Das Modell mit systematischen Komponenten.- b) Das Modell mit Zufallskomponenten.- 7.3 Zweifache Zerlegung, zwei Einflußgrößen; gleiche Besetzungszahlen für alle Zellen.- a) Das Modell mit systematischen Komponenten.- b) Das Modell mit Zufallskomponenten.- c) Das Modell mit systematischen Komponenten und Zufallskomponenten (gemischtes Modell).- 7.4 Das Modell ohne Wechselwirkung.- a) Das Modell mit systematischen Komponenten.- b) Das Modell mit Zufallskomponenten.- c) Das Modell mit systematischen Komponenten und Zufallskomponenten (gemischtes Modell).- 7.5 Das „Schachtelmodell“ mit drei (oder mehr) Zufallskomponenten.- 7.6 Verteilungsunabhängige Testverfahren.- a) Einfache Zerlegung.- b) Zweifache Zerlegung mit n = 1.- 7.7 Kostenbetrachtung bei varianzanalytischen Modellen mit Zufallskomponenten.- 8 Korrelation.- 8.1 Zweidimensionale Normalverteilung.- a) Berechnung von r aus n Wertepaaren.- b) Berechnung von r bei gleichabständiger Klasseneinteilung.- c) Testverfahren und Vertrauensbereiche.- 8.2 Mehrdimensionale Normalverteilung.- a) Partielle Korrelation.- b) Multiple Korrelation.- 8.3 Zweidimensionale nichtnormale Verteilungen.- a) Prüfung der Unabhängigkeit in einer (k · l) Kontingenztafel bei quantitativen oder qualitativen Merkmalen.- b) Spearmansche Rangkorrelation.- c) Kendallsche Rangkorrelation.- 8.4 Mehrdimensionale nichtnormale Verteilungen.- 9 Regression.- 9.1 Einfache Regression.- a) Modelle.- b) Auswertung der Stichprobe.- c) Testverfahren.- d) Vertrauensbereiche.- e) Toleranzbereiche.- 9.2 Mehrfache Regression.- a) Modelle.- b) Auswertung der Stichprobe.- c) Testverfahren.- d) Vertrauensbereichc.- e) Toleranzbereiche.- 10 Kontrollkarten.- 10.1 Kontrollkarten für meßbare Merkmale.- a) Bestimmung der Prüfgrößen.- b) Kontrollkarten ohne Berücksichtigung von Toleranzgrenzen.- Mittelwertkarte (x-Karte).- Zentralwertkarte (x-Karte).- Standardabweichungskarte (s-Karte).- Spannweitenkarte (R-Karte).- Karte für die Variationszahl (Variationskoeffizient).- Extremwertkarte ohne Gang in der Fertigung.- c) Kontrollkarten zur Überwachung der „mittleren Lage“ einer Fertigung mit vorgeschriebenen technischen Toleranzgrenzen.- Mittelwertkarte (x-Karte).- Zentralwertkarte (x-Karte).- Extremwertkarte mit Gang in der Fertigung.- 10.2 Kontrollkarten für die Zahl fehlerhafter Einheiten (Stücke).- x-Karte.- p-Karte.- 10.3 Kontrollkarten für die Zahl der Fehler.- c-Karte.- u-Karte.- 11 Prüfpläne.- 11.1 Allgemeines.- 11.2 Einfachpläne für stetig veränderliche Merkmale.- a) Einseitig vorgegebene Toleranzgrenze Tu bzw. T0.- b) Zweiseitig vorgegebene Toleranzgrenzen (Tu; T0).- c) Durchschlupf und mittlerer Prüfaufwand.- 11.3 Einfach- und Doppelpläne für Ereigniszahlen.- a) Allgemeines.- b) Einfachpläne.- c) Doppelpläne.- d) Ermittlung der Probengröße und der Annahmezahl eines Einfachplans bei vorgegebener Annahmekennlinie mit Hilfe der arc sin-Transformation.- e) Prüfplansammlungen.- 11.4 Folgepläne (Folgetests) für stetig veränderliche Merkmale (messende Prüfung).- a) Test zur Beurteilung des Schlechtsanteils oder des Mittelwerts einer Liefermenge bei bekannter Varianz der Fertigung.- b) Test zur Beurteilung des Mittelwerts bei unbekannter jedoch fester Varianz der Fertigung (Barnard-Folgetest).- c) Test zur Beurteilung des Schlechtanteils oder der Varianz bei bekanntem Mittelwert der Fertigung.- d) Test zur Beurteilung der Varianz bei unbekanntem jedoch festem Mittelwert der Fertigung.- e) Test zur Beurteilung des Schlechtanteils oder der Qualitätszahl einer Liefermenge bei unbekannter Varianz der Fertigung (WAGR-Test).- 11.5 Folgepläne (Folgetests) für Ereigniszahlen.- a) Gut-Schlecht-Prüfung.- b) Prüfung für (bezogene) Ereigniszahlen (poissonverteiltes Merkmal).- 11.6 Gut-Schlecht-Prüfung bei kontinuierlicher Fertigung (Continuous Sampling).- a) Dodge-Plan (einstufig).- b) Zweistufige Pläne.- c) Mehrstufige Pläne.- 11.7 Vergleich zweier Gesamtheiten mit Hilfe „ungleicher Paare“.- 12 Funktionen von Zufallsgrößen (Merkmaltransformation; Streuungsfortpflanzung).- 12.1 Einfacher Zusammenhang; Merkmaltransformation.- 12.2 Mehrfacher Zusammenhang; Streuungsfortpflanzung.- B. Beispiele.- Beispiel 1: Berechnung von Mittelwert, Zentralwert, Varianz, Standard-abweichung und Variationszahl bei kleinem Stichprobenumfang.- Beispiel 2: Berechnung von Mittelwert, Zentralwert, Varianz, Standardabweichung und Schiefe bei großem Stichprobenumfang (gleichabständige Klasseneinteilung).- Beispiel 3: Graphische Ermittlung von Mittelwert und Standardabweichung im Wahrscheinlichkeitsnetz.- Beispiel 4: Zufallsschranken.- Beispiel 5: Vertrauensgrenzen bzw. -bereiche.- Beispiel 6: Toleranzbereiche.- Beispiel 7: Ausreißerschranke.- Beispiel 8: Anwendung des Binomialpapiers.- Beispiel 9: Verträglichkeit zwischen Kenngröße einer Stichprobe und Sollwert.- Beispiel 10: Mittelwertvergleich bei zwei unabhängigen Stichproben.- Beispiel 11: Mittelwertvergleich bei zwei verbundenen Stichproben (paarweiser t-Test, Vorzeichen-Rangfolge-Test von WILCOXON).- Beispiel 12: Vergleich von Varianzen bei (angenähert) normal verteilten Merkmalwerten in den Grundgesamtheiten.- Beispiel 13: Vergleich der Grundwahrscheinlichkeiten von Binomialverteilungen.- Beispiel 14: Vergleich einer beobachteten mit einer vorgegebenen Verteilung.- Beispiel 15: Einfache Streuungszerlegung.- Beispiel 16: Zweifache Streuungszerlegung; eine Beobachtung je Zelle.- Beispiel 17: Korrelationsanalyse bei zweidimensionaler Normalverteilung.- Beispiel 18: Einfache Regressionsanalyse.- Beispiel 19: Mehrfache Regressionsanalyse.- Beispiel 20: Kontrollkarten für ein meßbares Merkmal ..- Beispiel 21: Kontrollkarte für die Zahl fehlerhafter Einheiten (Stücke).- Beispiel 22: Kontrollkarte für die Zahl der Fehler.- Beispiel 23: Ermittlung von Plänen für messende Prüfung mit Hilfe des doppelten Wahrscheinlichkeitsnetzes.- Beispiel 24: Bestimmung der Annahmekennlinie (Operations-Charakteristik) eines Einfachplans für messende Prüfung.- Beispiel 25: Schätzung der Schlechtanteile pU und p0 im Los aus der Summengeraden G einer Probe der Größe n im einfachen Wahrscheinlichkeitsnetz.- Beispiel 26: Ermittlung eines Einfachplans für Gut-Schlecht-Prüfung.- Beispiel 27: Bestimmung der Annahmekennlinie (Operations-Charakteristik) eines gegebenen Prüfplans (N;n; a) für Gut-Schlecht-Prüfung.- Beispiel 28: Folgeplan (Folgetest) für Gut-Schlecht-Prüfung.- Beispiel 29: Abgangslinie im Lebensdauernetz.- Beispiel 30: Anwendung des logarithmischen Wahrscheinlichkeitsnetzes.- C. Tabellen.- Häufig gebrauchte Konstanten; griechisches Alphabet.- Tabelle C 1: Dichtefunktion der Normalverteilung.- Tabelle C 2: Summenfunktion der Normalverteilung.- Tabelle C 3: Fläche unter der Normalverteilung.- Tabelle C 4: Schwellenwerte t1 - ?; f der t-Verteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 — ? (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad f.- Tabelle C 5: Schwellenwerte t1_(?/2):ƒ der t-Verteilung zur statistischen Sicherheit S — 1 — ? (bei zweiseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad ƒ.- Tabelle C 6: Schwellenwerte X12-?:ƒ der x2-Verteilung zur Wahrscheinlichkeit 1 — ? in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad ƒ.- Tabelle C 7: Schwellenwerte F1_?(f1; ƒ2) der F-Verteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 — ? = 95% (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit von den Freiheitsgraden f1 und ƒ2.- Tabelle C 8: Schwellenwerte F1_?(ƒ1; ƒ2) der F-Verteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 — ? = 97,5% (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit von den Freiheitsgraden f1 und ƒ2.- Tabelle C 9: Schwellenwerte F1_?(f1; ƒ2) der F-Verteilung zur statistischen Sicherheit S=1 — ? = 99% (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit von den Freiheitsgraden f1 und ƒ2.- Tabelle C 10: Schwellenwerte F1_?(f1; ƒ2) der F-Verteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 — ? = 99,5% (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit von den Freiheitsgraden f1 und ƒ2.- Tabelle C ll: Schwellenwerte w1_?(n) der Verteilung der standardisierten Spannweite w = w(n) = R/o.- Tabelle C 12: Schwellenwerte q1_?(ƒ;p) der Verteilung der studentisierten Spannweite q zur Sicherheit S = 95% (bei einseitiger Abgrenzung).- Tabelle C 13: Schwellenwerte q1-?(f;p) der Verteüung der studentisierten Spannweite q zur Sicherheit S = 99% (bei einseitiger Abgrenzung).- Tabelle C 14: Zahlenwerte k(n; 1 - ?).- Tabelle C 15: Werte für y(p) zur Transformation y = arc sin ?p.- Tabelle C 16: Werte für r(z) zur Transformation z=½ln 1+r/1-r- Tabelle C 17: Faktoren r und v zur Abgrenzung zweiseitiger Toleranzbereiche bei Normalverteilung.- Tabelle C 18: Faktoren zur Berechnung der Grenzen bei Kontrollkarten,.- Tabelle C 19: Zufallszahlen.- Tabelle C 20: Quadratzahlen und Quadratwurzeln von 1 bis 1215.- D. Nomogramme.- Nomogramm D 1: Schwellenwerte t1 _?; f der t-Verteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 — ? (bei einseitiger Abgrenzung) in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad ƒ.- Nomogramm D 2: Schwellenwerte X21-?;ƒ der x2-Verteilung zur Wahrscheinlichkeit 1 — ? ?50% in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad ƒ.- Nomogramm D 3: Schwellenwerte X21- ?;f der x2-Verteilung zur Wahrscheinlichkeit 1 — ? ?50% in Abhängigkeit vom Freiheitsgrad ƒ.- Nomogramm D 4: Schwellenwerte un ?1- ? zur Berechnung der einseitigen Zu- fallsschranken für die Extremwerte einer Stichprobe aus einer Normalverteilung.- Nomogramm D 5: Relative Weite p des Vertrauensbereichs für den Mittelwert µ einer Normalverteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 - ? = 95% ..- Nomogramm D 6: Relative Weite p des Vertrauensbereichs für den Mittelwert µ einer Normalverteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 - ? = 99%.- Nomogramm D 7: Relative Weite p des Vertrauensbereichs für den Mittelwert µ einer Normalverteilung zur statistischen Sicherheit S = 1 - ? = 99,9%.- Nomogramm D 8: xU- und x0-Faktoren zur Berechnung der einseitigen Vertrauensgrenzen für die Standardabweichung o der Normalverteilung bei großem Stichprobenumfang n.- Nomogramm D 9: xU-Faktor zur Berechnung der einseitigen unteren Vertrauensgrenze für die Standardabweichung o der Normalverteilung bei kleinem Stichprobenumfang n.- Nomogramm D 10: x0-Faktor zur Berechnung der einseitigen oberen Vertrauensgrenze für die Standardabweichung o der Normalverteilung bei kleinem Stichprobenumfang n.- Nomogramm D 11: Zweiseitiger Vertrauensbereich für den Parameter p derBinomialverteilung zur  Sicherheit S = 1 — ? = 95% ..- Nomogramm D 12: Zweiseitiger Vertrauensbereich für den Parameter p der Binomialverteilung zur Sicherheit S = 1 —? = 99% ..- Nomogramm D 13: Kriterium für den Ersatz der Binomialverteilung durch die Normalverteilung.- Nomogramm D 14: Einseitige Vertrauensgrenzen für den Mittelwert µ der Poisson-Verteilung zur Sicherheit S = 1 — ?.- Nomogramm D 15: Zweiseitiger Vertrauensbereich für die Korrelationszahl Q bei zweidimensionaler Normalverteilung zur Sicherheit S = 1 - ? = 95%.- Nomogramm D 16: Zweiseitiger Vertrauensbereich für die Korrelationszahl Q bei zweidimensionaler Normalverteilung zur Sicherheit S = 1 - ? = 99%.- Nomogramm D 17: Schwellenwerte r1_?;n zum Test der Hypothese Q = O bei zweidimensionaler Normalverteilung.