Integralgleichungen

Inhaltsübersicht.- Erster Teil. Was ist eine Integralgleichung? Ergebnisse der mathematischen Theorie, insbesondere bei den linearen Integralgleichungen zweiter Art mit symmetrischem Kern..- 1. Einleitende Bemerkungen.- 2. Einfachste Schwingungsaufgaben führen auf eine lineare Integralgleichung mit symmetrischem Kern.- a) Eine Integralgleichung erster Art.- b) Eine Integralgleichung zweiter Art.- c) Differentialgleichung der schwingenden Saite. Der Fundamentalsatz für symmetrische Integralgleichungen zweiter Art.- d) Die inhomogene Integralgleichung. Ankündigung des Alternativsatzes.- 3. Zusammenhang mit den gewöhnlichen Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung.- a) Die allgemeine Differentialgleichung erster Ordnung und eine Volterrasche Integralgleichung.- b) Die Differentialgleichung zweiter Ordnung.- c) Die verallgemeinerte Schwingungsgleichung $$\frac{{{{\partial }^{2}}U}}{{\partial {{x}^{2}}}} + p\left( x \right) \cdot \frac{{\partial U}}{{\partial x}} + q\left( x \right) \cdot U = \gamma \left( x \right)\frac{{{{\partial }^{2}}U}}{{\partial {{t}^{2}}}}$$.- 4. Der elementare Teil der Theorie.- a) Die Neumannsche Reihe.- b) Der lösende Kern.- c) Ein negatives Ergebnis; die „umgestellte“ Gleichung. Orthogonalität von Funktionen.- d) Die Volterrasche Integralgleichung. Vererbungserscheinungen.- e) Zusammenstellung der Hauptsätze.- 5. Die Beziehungen der Integralgleichungen zu den partiellen Differentialgleichungen der Physik und andere physikalische Anwendungen.- a) Die erste Randwertaufgabe der Potentialtheorie in der Ebene.- b) ? u = f. Greensche Funktion.- c) Membran und Platte.- d) Der Skineffekt.- e) Hilberts Begründung der elementaren Strahlungstheorie.- 6. Durchführung der Theorie für die symmetrischen Kerne.- a) Der Fundamentalsatz. Berechnung des niedrigsten Eigenwertes. Die Schwarzsche Ungleichheit.- b) Realität der Eigenwerte, Orthogonalität der Eigenfunktionen.- c) Das Orthogonalisierungsverfahren.- d) Frage der Entwickelbarkeit einer „willkürlichen“ Funktion nach den Eigenfunktionen eines Kerns.- e) Besselsche Ungleichheit. Parsevalsche Gleichung. Vollständigkeit.- f) Konvergenzsätze über die Entwicklung der Kerne bei bestimmten Voraussetzungen.- g) Beweise.- h) Die Antwort auf 6d). Nachtrag zu 6a).- i) Die Auflösung der inhomogenen Gleichung. Partialbruchzerlegung des lösenden Kerns. Der Alternativsatz Fredholms für symmetrische Kerne.- k) Positiv-definite Kerne. Abgeschlossenheit. Variationsprinzipe von Gauss-Hilbert und Dirichlet-Rayleigh. Der Mercersche Satz.- Zweiter Teil. Weitergehende Ausführungen..- 1. Die lineare Integralgleichung erster Art.- Anhang zu 1: Wie erkennt man lineare Abhängigkeit? Die Gramsche Determinante.- 2. Ausgeartete unsymmetrische Integralgleichungen zweiter Art.- 3. Die Fredholmsche Theorie.- 4. Das Verfahren von Enskog.- 5. E. Schmidts Theorie der unsymmetrischen Kerne.- 6. Quellenmäßige Darstellbarkeit und Entwickelbarkeit.- 7. Die polare Integralgleichung.- 8. Hilberts erster Weg über ein algebraisches Problem zur Lösung linearer Integralgleichungen.- 9. Die Methode der unendlich vielen Variablen. Der Hilbertsche Raum.- 10. Unendlich viele lineare Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten.- 11. Die Mathieusche Gleichung.- 12. Abels Integralgleichung.- 13. Singuläre Kerne. Beispiele.- 14a. Eine Integralgleichung aus der Theorie der Tragflügel.- 14b. Die Integralgleichung von L. Föppl. (Härteproblem von Hertz).- 15. Einige weitere Orthogonalsysteme und ihre Kerne.- 16. Das Schwingungsproblem von Duffing.- 17. Nichtlineare Integralgleichungen.- Namenverzeichnis.