Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics

<div>I Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</div><div>1.1 Formulation of the Balance Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2</div><div>1.2 Reduction to Field Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</div><div>1.3 Change of Coordinates and a Trace Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 7</div><div>1.4 Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</div><div>1.5 Companion Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</div><div>1.6 Weak and Shock Fronts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</div><div>1.7 Survey of the Theory of BV Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</div><div>1.8 BV Solutions of Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21</div><div>1.9 Rapid Oscillations and the Stabilizing Effect of Companion</div>Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<div>1.10 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</div><div>II Introduction to Continuum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</div><div>2.1 Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</div><div>2.2 Balance Laws in Continuum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</div><div>2.3 The Balance Laws of Continuum Thermomechanics . . . . . . . . . . 31</div><div>2.4 Material Frame Indifference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35</div><div>2.5 Thermoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36</div><div>2.6 Thermoviscoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44</div><div>2.7 Incompressibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47</div><div>2.8 Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48</div><div>2.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49</div><div>III Hyperbolic Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53</div><div>3.1 Hyperbolicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53</div><div>3.2 Entropy-Entropy Flux Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54</div><div>3.3 Examples of Hyperbolic Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . 56</div><div>3.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</div><div>IV The Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br></div><div>4.1 The Cauchy Problem: Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77</div><div>4.2 Breakdown of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80</div><div>4.3 The Cauchy Problem: Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82</div><div>4.4 Nonuniqueness of Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83</div><div>4.5 Entropy Admissibility Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84</div><div>4.6 The Vanishing Viscosity Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90</div><div>4.7 Initial-Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94</div><div>4.8 Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97</div><div>4.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107</div><div>V Entropy and the Stability of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 111</div>5.1 Convex Entropy and the Existence of Classical Solutions . . . . . . 112<div>5.2 Relative Entropy and the Stability of Classical Solutions . . . . . . 122</div><div>5.3 Involutions and Contingent Entropies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125</div><div>5.4 Contingent Entropies and Polyconvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138</div><div>5.5 The Role of Damping and Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146</div><div>5.6 Initial-Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160</div><div>5.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170</div><div>VI The L1 Theory for Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175</div><div>6.1 The Cauchy Problem: Perseverance and Demise</div><div>of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176</div><div>6.2 Admissible Weak Solutions and their Stability Properties . . . . . . 178</div><div>6.3 The Method of Vanishing Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183</div><div>6.4 Solutions as Trajectories of a Contraction Semigroup and the</div><div>Large Time Behavior of Periodic Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188</div><div>6.5 The Layering Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195</div><div>6.6 Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199</div><div>6.7 A Kinetic Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205</div><div>6.8 Fine Structure of L¥ Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212</div><div>6.9 Initial-Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215</div><div>6.10 The L1 Theory for Systems of Conservation Laws . . . . . . . . . . . . 220</div><div>6.11 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223</div><div>VII Hyperbolic Systems of Balance Laws&nbsp;in One-Space Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227</div><div>7.1 Balance Laws in One-Space Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227</div><div>7.2 Hyperbolicity and Strict Hyperbolicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235</div><div>7.3 Riemann Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238</div><div>7.4 Entropy-Entropy Flux Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243</div><div>7.5 Genuine Nonlinearity and Linear Degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . 245</div><div>7.6 Simple Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247</div><div>7.7 Explosion of Weak Fronts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252</div><div>7.8 Existence and Breakdown of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . 253</div><div>7.9 Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257</div><div>7.10 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258<br></div><div>VIII Admissible Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263</div><div>8.1 Strong Shocks, Weak Shocks, and Shocks of Moderate Strength 263</div><div>8.2 The Hugoniot Locus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266</div><div>&lt;8.3 The Lax Shock Admissibility Criterion;</div><div>Compressive, Overcompressive and Undercompressive Shocks . 272</div><div>8.4 The Liu Shock Admissibility Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278</div><div>8.5 The Entropy Shock Admissibility Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280</div><div>8.6 Viscous Shock Profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285</div><div>8.7 Nonconservative Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296</div><div>8.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297</div><div>IX Admissible Wave Fans and the Riemann Problem. . . . . . . . . . . . . . . . 303</div><div>9.1 Self-Similar Solutions and the Riemann Problem . . . . . . . . . . . . . 303</div><div>9.2 Wave Fan Admissibility Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307</div><div>9.3 Solution of the Riemann Problem via Wave Curves . . . . . . . . . . . 309</div><div>9.4 Systems with Genuinely Nonlinear</div><div>or Linearly Degenerate Characteristic Families . . . . . . . . . . . . . . . 312</div><div>9.5 General Strictly Hyperbolic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316</div><div>9.6 Failure of Existence or Uniqueness;</div><div>Delta Shocks and Transitional Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320^lt;9.7 The Entropy Rate Admissibility Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323</div><div>9.8 Viscous Wave Fans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332</div><div>9.9 Interaction of Wave Fans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343</div><div>9.10 Breakdown of Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350</div><div>9.11 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354</div><div>X Generalized Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359</div><div>10.1 BV Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359</div><div>10.2 Generalized Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360</div><div>10.3 Extremal Backward Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362</div><div>10.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365</div><div>XI Scalar Conservation Laws in One Space Dimension . . . . . . . . . . . . . 367</div><div>11.1 Admissible BV Solutions and Generalized Characteristics . . . . . 368</div><div>11.2 The Spreading of Rarefaction Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371</div><div>11.3 Regularity of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372</div><div>11.4 Divides, Invariants and the Lax Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377</div><div>11.5 Decay of Solutions Induced by Entropy Dissipation . . . . . . . . . . 380</div><div>11.6 Spreading of Characteristics and Development of N-Waves . . . . 383</div><div>11.7 Confinement of Characteristics</div><div>and Formation of Saw-toothed Profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384</div><div>11.8 Comparison Theorems and L1 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386<div>11.9 Genuinely Nonlinear Scalar Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395</div><div>11.10 Balance Laws with Linear Excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399</div><div>11.11 An Inhomogeneous Conservation Law. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401<br></div><div>11.12 When Genuine Nonlinearity Fails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406</div><div>11.13 Entropy Production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418</div><div>11.14 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422</div><div>XII Genuinely Nonlinear Systems of Two Conservation Laws . . . . . . . . . 427</div><div>12.1 Notation and Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427</div><div>12.2 Entropy-Entropy Flux Pairs and the Hodograph Transformation 429</div><div>12.3 Local Structure of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432</div><div>12.4 Propagation of Riemann Invariants</div><div>Along Extremal Backward Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435</div><div>12.5 Bounds on Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452</div><div>12.6 Spreading of Rarefaction Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464</div><div>12.7 Regularity of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469</div><div>12.8 Initial Data in L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471</div><div>12.9 Initial Data with Compact Support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475</div><div>&lt;12.10 Periodic Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481</div><div>12.11 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486<div>XIII The Random Choice Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489</div><div>13.1 The Construction Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489</div><div>13.2 Compactness and Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492</div><div>13.3 Wave Interactions in Genuinely Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . 498</div><div>13.4 The Glimm Functional for Genuinely Nonlinear Systems . . . . . . 500</div><div>13.5 Bounds on the Total Variation</div><div>for Genuinely Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505</div><div>13.6 Bounds on the Supremum for Genuinely Nonlinear Systems . . . 507</div><div>13.7 General Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509</div><div>13.8 Wave Tracing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512</div><div>13.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515</div><div>XIV The Front Tracking Method and Standard Riemann Semigroups . . 517</div><div>14.1 Front Tracking for Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . 518</div><div>14.2 Front Tracking for Genuinely Nonlinear</div><div>Systems of Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520</div><div>14.3 The Global Wave Pattern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525</div><div>14.4 Approximate Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526</div><div>14.5 Bounds on the Total Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528</div><div>14.6 Bounds on the Combined Strength of Pseudoshocks . . . . . . . . . . 531</div><div>14.7 Compactness and Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534</div><div>14.8 Continuous Dependence on Initial Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536<div>14.9 The Standard Riemann Semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540</div><div>14.10 Uniqueness of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541</div><div>14.11 Continuous Glimm Functionals,</div><div>Spreading of Rarefaction Waves,</div><div>and Structure of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547</div><div><br></div><div>14.12 Stability of Strong Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550</div><div>14.13 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552</div><div>XV Construction of BV Solutions by the Vanishing Viscosity Method . . 557</div><div>15.1 The Main Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557</div><div>15.2 Road Map to the Proof of Theorem 15.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559</div><div>15.3 The Effects of Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561</div><div>15.4 Decomposition into Viscous Traveling Waves . . . . . . . . . . . . . . . . 564</div><div>15.5 Transversal Wave Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568</div><div>15.6 Interaction of Waves of the Same Family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572</div><div>15.7 Energy Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576</div><div>15.8 Stability Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579</div><div>15.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582</div><div>XVI BV Solutions for Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585</div><div>16.1 The Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586</div><div>16.2 Strong Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589</div><div>16.3 Redistribution of Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593</div><div>16.4 Bounds on the Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595</div><div>16.5 L1 Stability Via Entropy with Conical Singularity at the Origin . 606</div><div>16.6 L1 Stability when the Source is Partially Dissipative . . . . . . . . . . 609</div><div>16.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622</div><div>XVII Compensated Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623</div><div>17.1 The Young Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624</div><div>17.2 Compensated Compactness and the div-curl Lemma . . . . . . . . . . 625</div><div>17.3 Measure-Valued Solutions for Systems of Conservation Laws</div><div>and Compensated Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626</div><div>17.4 Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629</div><div>17.5 A Relaxation Scheme for Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . 631</div><div>17.6 Genuinely Nonlinear Systems of Two Conservation Laws . . . . . 634</div><div>17.7 The System of Isentropic Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637</div><div>17.8 The System of Isentropic Gas Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642&lt;<div>17.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648</div><div>XVIII Steady and Self-similar Solutions in Multi-Space Dimensions . . . . . 655</div><div>18.1 Self-Similar Solutions for Multidimensional Scalar</div><div>Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655</div><div>18.2 Steady Planar Isentropic Gas Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658&lt;<div>18.3 Self-Similar Planar Irrotational Isentropic Gas Flow . . . . . . . . . . 663</div><div>18.4 Supersonic Isentropic Gas Flow Past a Ramp . . . . . . . . . . . . . . . . 667</div><div>18.5 Regular Shock Reflection on a Wall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672</div><div>18.6 Shock Collision with a Ramp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675</div><div>18.7 Isometric Immersions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678</div><div>18.8 Cavitation in Elastodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682</div><div>18.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686</div><div><br></div><div>Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693</div><div>Author Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813&lt;<div>Subject Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823</div></div></div></div></div></div></div>